群論基礎概念 cheatsheet

封面來自 wikibooks - Group_Theory

最近大半年在好幾個方向上接觸到了群論相關的知識，這兩週稍微了解了一下 (抽象代數的概念實在是又多又複雜 🥲)，用自己能夠盡量理解的方式，總結了一些概念算作後續學習的一個 cheatsheet 吧。

感興趣推薦直接看這個視頻: 史上最好的群論入門只有三十分鐘，內容精煉，比文本好理解很多。另外也可以看下東南大學李逸老師編的基本分析講義教材 (在研究成果頁面 Textbooks 可下載)，集合論相關的東西參考了很多。

集合與映射基礎#

笛卡爾積 (cartesian produce)#

設 $A$ 和 $B$ 為兩個給定的集合，定義其 Cartesian 乘積為:

$A \times B = \left \{ (a, b) | a \in A \space\And\space b \in B \right \}$

如設 $A = \left \{ a, b \right \}, B = \left \{ i,j,k \right \}$ 則有 $A \times B = \{(a,i),(b,i),(a,j),(b,j),(a,k),(b,k)\}$

其中 $(a, b)$ 表示 $a$ 和 $b$ 的 有序對 (ordered pair) 定義為 $(a, b) = \left \{ \left \{ a \right \}, \left \{ a, b \right \} \right \}$ 這種表示方式中第一個元素 $\left \{ a \right \}$ 表示有序對的第一元素是 $a$ 第二個元素 $\left \{ a,b \right \}$ 表示元素之間的順序，參考 Kuratowski's definition 和 ZFC 集合公理化。其中 $a$ 稱為有序對的第一坐標 $b$ 稱為有序對的第二坐標，當 $a = b$ 時 $(a, b) = \left \{ \left \{ a \right \} \right \}$ 對於 $x = (a, b)$ 定義投影映射 $pr_{1}(x) = a,\space pr_{2}(x) = b$

映射 (map)#

設 $C$ 和 $D$ 是兩個給定的集合，賦值法則 $R$ 指的是滿足以下條件的 $C \times D$ 的子集

$(c,d) \in R \space\And\space (c,d{}') \in R \Longrightarrow d=d{}'$

定義賦值法則 $R$ 定義域 (domain) 和 像域 (image set) 為:

$Dom(R) := \{ c \in C | \exists\space d \in D \text{ s.t. } (c,d) \in R\}$

$Im(R) := \{ d \in D | \exists\space c \in C \text{ s.t. } (c,d) \in R\}$

一個映射 $f$ 是一個二元對 $(R, B)$ 其中 $R$ 是賦值法則， $B$ 是一個集合 (稱為 $f$ 的值域 (range)) 滿足 $Im(R) \subseteq B$ 定義:

$f$ 的定義域 $Dom(f) := Dom(R)$
$f$ 的像域 $Im(f) := Im(R)$
引入記號 $f: A \longrightarrow B, a \longmapsto f(a)$ 其中 $A$ 和 $B$ 分別是 $f$ 的定義域和值域，因此有 $Im(f) \subseteq B$ 且 $f(a)$ 是 $B$ 中滿足 $(a, f(a)) \in R$ 的唯一元素
定義圖 $graph(f) := \{(a,b) \in A \times B|b = f(a) \} = \{(a, f(a))|a \in A\} \subseteq A \times B$

各種映射類型#

稱 $1_{A} = A \longrightarrow A, a \longmapsto a$ 為恒等映射 (identity mapping)

稱 $f: A \longrightarrow B, a \longmapsto b$ 其中 $b$ 是常數為常值映射 (constang mapping)

對任意給定 $A$ 的子集 $A_{0}$ 定義 $f$ 在 $A_{0}$ 上限制 (restriction) 為映射 $f|_{A_{0}} = f: A_{0} \longrightarrow B$

定義 $f$ 和 $g$ 的 複合 (composition) 為 $f \circ g = A \longrightarrow C, a \longmapsto c$ 但僅當 $Im(f) \subseteq Dom(g)$ 時 $f \circ g$ 才有意義

若 $f(a) = f(a{}') \Longrightarrow a = a{}'$ 則 $f$ 是單射 (injective)

若 $\forall \space b \in B, \exists \space a \in A \text{ s.t. } f(a) = b$ 則 $f$ 是滿射 (surjective)

若 $f$ 即是單射又是滿射則稱 $f$ 是雙射 (bijective)

若 $f$ 是雙射定義其 逆映射 (inverse) 為 $f_{}^{-1}: B \longrightarrow A$ 且 $f_{}^{-1}(b) = a \Longleftrightarrow f(a) = b$

給定映射 $f: A \longrightarrow B$ 如果存在映射 $g: B \longrightarrow A$ 使得 $g \circ f = 1|_{A}$ 即 $f(f(a)) = a$ 對任何 $a \in A$ 成立則 $f$ 必是單射

給定映射 $f: A \longrightarrow B$ 如果存在 $f$ 的左逆 (left inverse) $g: B \longrightarrow A$ (即 $g(f(a)) = a$ 對所有 $a \in A$ 成立) 和 $f$ 的右逆 (right inverse) $h: B \longrightarrow A$ (即 $f(h(b)) = b$ 對所有的 $b \in B$ 成立)，則 $g = h = f_{}^{-1}$

如果在映射定義 $(R, B)$ 中 $B$ 是一個數域則稱這種映射為函數

等勢 (equinumerous)#

如果在集合 $A$ 和 $B$ 之間存在雙射 $f: A \rightarrow B$ , 稱這兩個集合等勢，記作 $A \sim B$

群基礎定義#

定義滿足以下條件的二元組 $(G, \circ)$ 為一個群:

群的元素屬於一個集合 $G$
群內元素包含一個二元操作 $\circ$
封閉性 (closed under operation): 對於 $x, y \in G, x \circ y \in G$
恒等元 (identity): 存在元素 $e \in G, e \circ x = x \circ e = x$
逆 (inverse): 對於任意 $x \in G$ 存在元素 $x_{}^{-1} \in G, x \circ x_{}^{-1} = e$
結合律 (associativity): $(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$

群的元素的數量稱為群的階數用 $\left | G \right |$ 表示，只包含一個元素 $e$ 的群 $\left | G \right | = 1$ 稱為平凡群(trivial group)

阿貝爾群 (abelian group)#

若對於群 $(A, \circ)$ 中的所有元素 $a, b \in A$ 都滿足 $a \circ b = b \circ a$ 即交換律則稱 $(A, \circ)$ 為阿貝爾群或者交換群，反之則稱為非阿貝爾群或者非交換群。

循環群 (cyclic group)#

設 $(G, \circ)$ 為一個群，若存在元素 $g \in G$ 使得 $G = \left \{ g_{}^{k} | k \in \mathbb{Z} \right \}$ 則稱 $(G, \circ)$ 形成一個循環群，其中元素 $g$ 稱為群的生成元記作 $G = \left \langle g \right \rangle$ 群 $G$ 內任意一個元素所生成的群都是循環群，且是 $G$ 的子群。

例如 $(\mathbb{Z}, +) = \left \langle 1 \right \rangle$ 是一個循環群。

子群 (subgroup)#

如果 $H$ 是群 $(G, \circ)$ 中集合 G 的一個非空子集且 $(H, \circ)$ 也構成一個群，則稱 $(H, \circ)$ 為 $(G, \circ)$ 的子群，省略二元操作符，記作 $H \le G$ 如果 $H \ne G$ 則稱 $H$ 為 $G$ 的真子群記作 $H \lt G$

所有的 $G$ 都包含兩個子群：僅有恒等元 $e$ 構成的平凡子群 $\left \{ e \right \}$ 及其自身 $G$ 如果某個群 $G$ 除了這兩個子群以外沒有其他的子群，則稱其為單群(simple group)

拉格朗日定理 (Lagrange's Theorem): 如果 $H \le G$ 則 G 的階數 $\left | G \right |$ 一定可以被 H 的階數整除即:

$H \le G \Rightarrow \left | G \right | \space divides \space \left | H \right |$

假設有一個群 $\left | G \right | = 35$ 則通過拉格朗日定理可知對於 $G$ 的子群 $H$ 一定有 $\left | H \right | = 1,5,7,35$

共軛子群 (conjugate group)#

對於群中的元素 $g \in G$ 稱 $aga_{}^{-1}$ 為 $g$ 在 $G$ 中的共軛元。

或者說，對於群 $G$ 中共軛的兩個元素 $a, b$ 必定存在 $g \in G$ 使得 $gag_{}^{-1} = b$

若 $H$ 是 $G$ 的子群且 $a \in G$ 則 $aHa_{}^{-1} = \left \{ aha_{}^{-1}|\space h \in H \right \}$ 是 $G$ 的子群，稱為 $H$ 關於 $G$ 的共軛子群。

陪集 (coset)#

若 $H$ 是 $G$ 的子群且 $g \in G$

稱 $gH = \left \{ gh, \space h \in G \right \}$ 為 $H$ 在 $G$ 中的左陪集(Left Coset)
稱 $Hg = \left \{ hg, \space h \in G \right \}$ 為 $H$ 在 $G$ 中的右陪集(Right Coset)

注意陪集不一定是群，比如其不一定包含恒等元 $e$

正規子群 (normal subgroup)#

正規子群的定義有多種方式，若 $(N, \circ)$ 是 $(G, \circ)$ 的子群

若 $\forall g \in G,\space gNg_{}^{-1} = N$ 稱 $N$ 是 $G$ 的正規子群
若 $\forall g \in G, gH = Hg$ 稱 $N$ 是 $G$ 的正規子群
若 $N$ 在 $G$ 中的左陪集的集合和右陪集的集合是一致的，則稱 $N$ 是 $G$ 的正規子群
若 $N$ 的所有共軛子群等於 $N$ 則稱 $N$ 是 $G$ 的正規子群

$N$ 是 $G$ 的正規子群記作 $N \lhd G$ 或者 $G \rhd N$

任意群 $G$ 的兩個平凡子群 $\left \{ e \right \}$ 和 $G$ 都是 $G$ 的正規子群，也稱作平凡正規子群。

對於 $G$ 中的任意元素 $g$ 都可以在子群 $G{'}$ 中找到一個元素 $g{'}$ 和原群 $G$ 中的一個元素 $x \in G$ 使得 $g = g{'} \circ x$

例如給定一個群 $G = (\{1,2,3,4,5,6\}, a \circ b = a*b\mod{6})$ 及其子群 $G = (\{1,3\}, \circ)$

則對於原群中的每個元素都可以表示為 $1 = 1 \circ 1, 2 = 1 \circ 2, 3 = 3 \circ 1, 4 = 3 \circ 2, 5 = 1 \circ 5, 6 = 3 \circ 5$

整數加法群的正規子群是 $\{2n, n \in \mathbb{Z} \}$

正規子群可以形象地理解為一個在群中具有特殊的性質的子群，它在群中的運算與子群中的運算是等價的 (?)。直覺上正規子群可以看作能夠單位群，通過正規子群可以構造出整個群。

商群 (factor group)#

設群 $(G, \circ)$ 有正規子群 $(N, \circ)$ 對於 $a, b \in G$ 定義陪集運算 $(a \circ N) \diamond (b \circ N) = \left \{ a \circ b \circ n|n \in N \right \}$

則定義 $N$ 的陪集在該運算下構成的群為商群，記作 $G / N = (\left \{ aN| a \in G \right \} , \diamond)$

如所有正整數和加法運算構成一個群 $(\mathbb{Z}, +)$ 這個群有無數個子群 $2\mathbb{Z},3\mathbb{Z},...$ 觀察 $5\mathbb{Z}$ 其將 $\mathbb{Z}$ 分割成一個子群 (也可以看作陪集) 和四個陪集:

子群: $5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-5,0,5,10,... \right \}$
陪集: $1 + 5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-4,1,6,11,... \right \}$
陪集: $2 + 5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-3,2,7,12,... \right \}$
陪集: $3 + 5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-2,3,8,13,... \right \}$
陪集: $4 + 5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-1,4,9,14,... \right \}$

則這五個陪集可以組成一個新的群 (陪集群) 稱為商群記作 $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$

注意事項：

商群 $G/N$ 並非 $G$ 的子群
陪集並不總能形成一個群
陪集群 (商群) $G/N$ 的恒等元 (identity) 為 $N$

商群指的是將群中的某些元素 $a \in G, b \in G_{0}$ 合併成同一個元素 (這個元素本身是一個集合) $\{a, b\} \in G_{n}$

商群的元素是原群的元素的等價類，等價關係是指兩個元素在群中的運算結果是相等的。

直覺上商群是將正規子群 $N$ 看作單位元後構成的群

群同態 (group homomorphism)#

給定兩個群 $(G, \ast)$ 和 $(H, \odot)$ 若存在函數 $h$ 使得對於所有 $G$ 中的 $u,v$ 有 $h(u \ast v) = h(u) \odot h(v)$ 則稱 $(G, \ast)$ 到 $(H, \odot)$ 的群同態

同態核 (kernel of homomorphism)#

設 $G_{1},G_{2}$ 是群 $f: G_{1} \rightarrow G_{2}$ 是同態映射，定義集合 $ker f = \{x| x \in G_{1}\space\And\space f(x) = e_{2}\}$ 其中 $e_{2}$ 是群 $G_{2}$ 的單位元素稱 $ker f$ 為同態核且 $ker f$ 是 $G_{1}$ 的正規子群:

非空: $G_{1}$ 的單位元素必在 $ker f$ 中
子群: $\forall a, b \in ker f, f(a) = f(b) = e_{2}$ 則 $f(a \ast b_{}^{-1}) = f(a) \ast f(b)_{}^{-1} = e_{2}$
正規子群: $\forall a \in ker f, x \in G$ 由於 $f(a) = e_{2}$ 有 $f(x \ast a \ast x_{}^{-1}) = f(x) \ast f(a) \ast f(x)_{}^{-1} = e_{2}$ 即 $g \ast a \ast g_{}^{-1} \in ker f$

同態基本定理#

假設 $G, G_{}^{'}$ 是群， $f: G \rightarrow G_{}^{'}$ 是滿同態映射則 $G/ker f \cong G_{}^{'}$

群同構 (group isomorphism)#

給定兩個群 $(G, \ast)$ 和 $(H, \odot)$ 若存在雙射函數 $f: G \rightarrow H$ 使得對所有 $G$ 中的 $u, v$ 有 $f(u \ast v) = f(u) \odot f(v)$ 則稱群 $(G, \ast)$ 和 $(H, \odot)$ 同構。

例如實數加法群 $(\mathbb{R}, +)$ 通過 $f(x) = e_{}^{x}$ 同構於正實數乘法群 $(\mathbb{R}_{}^{+}, \ast)$

半群 (Semigroup)#

定義集合 $S$ 和其上的二元運算 $\cdot : S \times S \rightarrow S$ 若運算 $\cdot$ 滿足結合律即對於 $\forall x,y,z \in S$ 有 $(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$ 則稱有序對 $(S, \cdot)$ 為半群

例如正整數和加法構成半群

幺半群 (Monoid)#

對於集合 $M$ 和其上的二元運算 $\ast: M \times M \rightarrow M$ 如果滿足:

結合律: $\forall a,b,c \in M, (a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)$
單位元: $\exists e \in M, \forall a \in M, e \ast a = a \ast e$
封閉性: $\forall a,b \in M, a \ast b \in M$

則稱 $(M, \ast)$ 為幺半群，相對於群幺半群少了逆元素 (reverse) 的要求，相對於半群，幺半群多了單位元

變換群 (transformation group)#

對於非空集合 $A$ 稱 $f: A \rightarrow A$ 為 $A$ 上的一個變換，變換乘法即函數複合運算 $h(x) = g(f(x))$

當映射 $f$ 是雙射 (單射 + 滿射) 時稱這種變換為一一變換，下稱雙射變換便於理解，稱集合 $A$ 上的一一變換關於交換乘法構成的群為變換群

非空集合上的所有雙射變換構成群#

封閉性：雙射的複合仍然是雙射
結合律: $(f \circ g) \circ h = f(g(x)) \circ h = f(g(h(x))) = f \circ g(h(x)) = f \circ (g \circ h)$
單位元：存在單位元 $e: f(x) = x$ 對於任意變換 $g$ 滿足 $f \circ g = g \circ f$
逆元素：對於任意雙射 $g$ 必存在反函數 $g_{}^{-1}$ 即逆元素

變換群舉例#

設集合 $G = \{f_{a,b}\space|\space f_{a,b}(x) = ax + b\space (a, b \in \mathbb{R}, a \ne 0)\}$ 則 $(G, \circ)$ 構成 (變換) 群

置換 (permutation)#

定義有限集合 $S$ 上的雙射 $\sigma: S \rightarrow S$ 為 $S$ 上的 $n$ 元置換，記作:

其中 $\sigma(1), \sigma(2), .. \sigma(n)$ 是 $1,2,..,n$ 的不同排列，每種置換都相當於是一種排列方式

設 $i_{1}i_{2}..i_{n}$ 是 $1,2,..,n$ 的一種排列對任意的 $i,j$ 若 $i_{j} > i_{k}$ 且 $j < k$ 則稱 $i_{j}i_{k}$ 為一個逆序，一個排列中的逆序總個數稱為該排列的逆序數

迴圈#

設 $\sigma$ 是 $S = \{1,2,..,n\}$ 上的 n 元置換，若:

$\sigma(i_{1}) = i_{2},\sigma(i_{2}) = i_{3},..,\sigma(i_{k-1}) = i_{k},\sigma(i_{k}) = i_{1}$

且:

$\forall x \in S, x \ne i_{j} (j = 1,2,..,k), \sigma(x) = x$
(這一步的意思是 $i_{j}$ 和 $i_{k+j}$ 等價)

則稱 $\sigma$ 為 $S$ 上的 $k$ 階迴圈，當 $k = 2$ 時也稱為對換，記作 $(i_{1},i_{2},..,i_{k})$

不相交迴圈相乘#

對於 $S_{n}$ 中的兩個迴圈 $\sigma = (i_{1},i_{2},..,i_{k})$ 和 $\tau = (j_{1},j_{2},..,j_{s})$ 如果 $\{i_{1},i_{2},..,i_{k}\} \cap \{j_{1},j_{2},..,j_{s}\} = \phi$ 則稱 $\sigma$ 和 $\tau$ 不相交，如果 $\sigma$ 和 $\tau$ 不相交則 $\sigma\tau = \tau\sigma$

推論:

任意 n 元置換 $\sigma$ 都可以表示成一組互不相交的迴圈的乘積
$k(k > 1)$ 階迴圈 $\sigma = (i_{1} i_{2} .. i_{k})$ 可以表示成 $k-1$ 個對換的乘積即 $(i_{1}i_{2})..(i_{1}i_{k-1})(i_{1}i_{k})$ 的形式
$\sigma$ 是 $S$ 上的一個置換 $\sigma(j) = a_{j} (j = 1,2,...n)$ 則 $\sigma$ 的任意對換表示中的對換個數與排列 $a_{1},a_{2},..,a_{n}$ 的逆序數同奇偶性

置換群#

有限集合 $S$ 上的所有置換一定構成群稱為對稱群，記作 $S_{n}$ 其中 $n$ 是 $S$ 的階數。

$S_{n}$ 的任意子集若構成群，則是置換群，置換群是變換群的特例，對稱群是置換群的特例。

$S_{n}$ 的所有偶置換構成子群，稱為交錯群

基於已有群構建變換群#

對於群 $(G, \ast)$ 中的任意元素 $a \in G$ 定義:

$\tau_{a}: G \rightarrow G, \forall x \in G, \tau_{a}(x) = x \ast a$

則 $\tau_{a}$ 是一一 (雙射) 變換:

滿射：對任意的 $b \in G$ 方程 $x \ast a = b$ 有唯一解
單射：若 $x \ast a = y \ast a \Rightarrow x = y$ 兩邊同時乘上 $a_{}^{-1}$

記 $G_{}^{'} = \{\tau_{a}|a \in G\}$ 顯然 $G_{}^{'}$ 可以構成變換群

Cayley 定理#

任意的群 $G$ 和一個變換群同構。定義 $\varphi: G \rightarrow G_{}^{'}, \forall a \in G, \varphi(a) = \tau_{a}$ 則 $\varphi$ 是同構映射。

$\varphi(a \ast b) = \tau_{a \ast b}$

$\forall x \in G, \varphi(a \ast b)(x) = \tau_{a \ast b}(x) = x \ast (a \ast b) = (x \ast a) \ast b = \tau_{b}(\tau_{a}(x))$

$\varphi(a \ast b) = \tau_{a} \circ \tau_{b} = \varphi(a) \circ \varphi(b)$

環 (ring)#

環由一個集合 $R$ 及其上的兩個二元運算 $+$ (加法) 和 $\cdot$ (乘法) 組成，且滿足以下條件:

$(R, +)$ 構成阿貝爾群 (交換群)
$(R, \cdot)$ 構成半群
乘法對於加法滿足分配律即 $\forall a,b,c \in R$ $\forall a, b, c \in R$
- $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$
- $(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$