群论基础概念 cheatsheet

封面来自 wikibooks - Group_Theory

最近大半年在好几个方向上接触到了群论相关的知识，这两周稍微了解了一下 (抽象代数的概念实在是又多又复杂 🥲)，用自己能够尽量理解的方式，总结了一些概念算作后续学习的一个 cheatsheet 吧。

感兴趣推荐直接看这个视频: 史上最好的群论入门只有三十分钟，内容精炼，比文本好理解很多。另外也可以看下东南大学李逸老师编的基本分析讲义教材 (在研究成果页面 Textbooks 可下载)，集合论相关的东西参考了很多。

集合与映射基础#

笛卡尔积 (cartesian produce)#

设 $A$ 和 $B$ 为两个给定的集合，定义其 Cartesian 乘积为:

$A \times B = \left \{ (a, b) | a \in A \space\And\space b \in B \right \}$

如设 $A = \left \{ a, b \right \}, B = \left \{ i,j,k \right \}$ 则有 $A \times B = \{(a,i),(b,i),(a,j),(b,j),(a,k),(b,k)\}$

其中 $(a, b)$ 表示 $a$ 和 $b$ 的 有序对 (ordered pair) 定义为 $(a, b) = \left \{ \left \{ a \right \}, \left \{ a, b \right \} \right \}$ 这种表示方式中第一个元素 $\left \{ a \right \}$ 表示有序对的第一个元素是 $a$ 第二个元素 $\left \{ a,b \right \}$ 表示元素之间的顺序，参考 Kuratowski's definition 和 ZFC 集合公理化。其中 $a$ 称为有序对的第一坐标 $b$ 称为有序对的第二坐标，当 $a = b$ 时 $(a, b) = \left \{ \left \{ a \right \} \right \}$ 对于 $x = (a, b)$ 定义投影映射 $pr_{1}(x) = a,\space pr_{2}(x) = b$

映射 (map)#

设 $C$ 和 $D$ 是两个给定的集合，赋值法则 $R$ 指的是满足以下条件的 $C \times D$ 的子集

$(c,d) \in R \space\And\space (c,d{}') \in R \Longrightarrow d=d{}'$

定义赋值法则 $R$ 定义域 (domain) 和 像域 (image set) 为:

$Dom(R) := \{ c \in C | \exists\space d \in D \text{ s.t. } (c,d) \in R\}$

$Im(R) := \{ d \in D | \exists\space c \in C \text{ s.t. } (c,d) \in R\}$

一个映射 $f$ 是一个二元对 $(R, B)$ 其中 $R$ 是赋值法则， $B$ 是一个集合 (称为 $f$ 的值域 (range)) 满足 $Im(R) \subseteq B$ 定义:

$f$ 的定义域 $Dom(f) := Dom(R)$
$f$ 的像域 $Im(f) := Im(R)$
引入记号 $f: A \longrightarrow B, a \longmapsto f(a)$ 其中 $A$ 和 $B$ 分别是 $f$ 的定义域和值域，因此有 $Im(f) \subseteq B$ 且 $f(a)$ 是 $B$ 中满足 $(a, f(a)) \in R$ 的唯一元素
定义图 $graph(f) := \{(a,b) \in A \times B|b = f(a) \} = \{(a, f(a))|a \in A\} \subseteq A \times B$

各种映射类型#

称 $1_{A} = A \longrightarrow A, a \longmapsto a$ 为恒等映射 (identity mapping)

称 $f: A \longrightarrow B, a \longmapsto b$ 其中 $b$ 是常数为常值映射 (constang mapping)

对任意给定 $A$ 的子集 $A_{0}$ 定义 $f$ 在 $A_{0}$ 上限制 (restriction) 为映射 $f|_{A_{0}} = f: A_{0} \longrightarrow B$

定义 $f$ 和 $g$ 的 复合 (composition) 为 $f \circ g = A \longrightarrow C, a \longmapsto c$ 但仅当 $Im(f) \subseteq Dom(g)$ 时 $f \circ g$ 才有意义

若 $f(a) = f(a{}') \Longrightarrow a = a{}'$ 则 $f$ 是单射 (injective)

若 $\forall \space b \in B, \exists \space a \in A \text{ s.t. } f(a) = b$ 则 $f$ 是满射 (surjective)

若 $f$ 即是单射又是满射则称 $f$ 是双射 (bijective)

若 $f$ 是双射定义其 逆映射 (inverse) 为 $f_{}^{-1}: B \longrightarrow A$ 且 $f_{}^{-1}(b) = a \Longleftrightarrow f(a) = b$

给定映射 $f: A \longrightarrow B$ 如果存在映射 $g: B \longrightarrow A$ 使得 $g \circ f = 1|_{A}$ 即 $f(f(a)) = a$ 对任何 $a \in A$ 成立则 $f$ 必是单射

给定映射 $f: A \longrightarrow B$ 如果存在 $f$ 的左逆 (left inverse) $g: B \longrightarrow A$ (即 $g(f(a)) = a$ 对所有 $a \in A$ 成立) 和 $f$ 的右逆 (right inverse) $h: B \longrightarrow A$ (即 $f(h(b)) = b$ 对所有的 $b \in B$ 成立)，则 $g = h = f_{}^{-1}$

如果在映射定义 $(R, B)$ 中 $B$ 是一个数域则称这种映射为函数

等势 (equinumerous)#

如果在集合 $A$ 和 $B$ 之间存在双射 $f: A \rightarrow B$ , 称这两个集合等势，记作 $A \sim B$

群基础定义#

定义满足以下条件的二元组 $(G, \circ)$ 为一个群:

群的元素属于一个集合 $G$
群内元素包含一个二元操作 $\circ$
封闭性 (closed under operation): 对于 $x, y \in G, x \circ y \in G$
恒等元 (identity): 存在元素 $e \in G, e \circ x = x \circ e = x$
逆 (inverse): 对于任意 $x \in G$ 存在元素 $x_{}^{-1} \in G, x \circ x_{}^{-1} = e$
结合律 (associativity): $(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$

群的元素的数量称为群的阶数用 $\left | G \right |$ 表示，只包含一个元素 $e$ 的群 $\left | G \right | = 1$ 称为平凡群(trivial group)

阿贝尔群 (abelian group)#

若对于群 $(A, \circ)$ 中的所有元素 $a, b \in A$ 都满足 $a \circ b = b \circ a$ 即交换律则称 $(A, \circ)$ 为阿贝尔群或者交换群，反之则称为非阿贝尔群或者非交换群。

循环群 (cyclic group)#

设 $(G, \circ)$ 为一个群，若存在元素 $g \in G$ 使得 $G = \left \{ g_{}^{k} | k \in \mathbb{Z} \right \}$ 则称 $(G, \circ)$ 形成一个循环群，其中元素 $g$ 称为群的生成元记作 $G = \left \langle g \right \rangle$ 群 $G$ 内任意一个元素所生成的群都是循环群，且是 $G$ 的子群。

例如 $(\mathbb{Z}, +) = \left \langle 1 \right \rangle$ 是一个循环群。

子群 (subgroup)#

如果 $H$ 是群 $(G, \circ)$ 中集合 G 的一个非空子集且 $(H, \circ)$ 也构成一个群，则称 $(H, \circ)$ 为 $(G, \circ)$ 的子群，省略二元操作符，记作 $H \le G$ 如果 $H \ne G$ 则称 $H$ 为 $G$ 的真子群记作 $H \lt G$

所有的 $G$ 都包含两个子群：仅有恒等元 $e$ 构成的平凡子群 $\left \{ e \right \}$ 及其自身 $G$ 如果某个群 $G$ 除了这两个子群以外没有其他的子群，则称其为单群(simple group)

拉格朗日定理 (Lagrange's Theorem): 如果 $H \le G$ 则 G 的阶数 $\left | G \right |$ 一定可以被 H 的阶数整除即:

$H \le G \Rightarrow \left | G \right | \space divides \space \left | H \right |$

假设有一个群 $\left | G \right | = 35$ 则通过拉格朗日定理可知对于 $G$ 的子群 $H$ 一定有 $\left | H \right | = 1,5,7,35$

共轭子群 (conjugate group)#

对于群中的元素 $g \in G$ 称 $aga_{}^{-1}$ 为 $g$ 在 $G$ 中的共轭元。

或者说，对于群 $G$ 中共轭的两个元素 $a, b$ 必定存在 $g \in G$ 使得 $gag_{}^{-1} = b$

若 $H$ 是 $G$ 的子群且 $a \in G$ 则 $aHa_{}^{-1} = \left \{ aha_{}^{-1}|\space h \in H \right \}$ 是 $G$ 的子群，称为 $H$ 关于 $G$ 的共轭子群。

陪集 (coset)#

若 $H$ 是 $G$ 的子群且 $g \in G$

称 $gH = \left \{ gh, \space h \in G \right \}$ 为 $H$ 在 $G$ 中的左陪集(Left Coset)
称 $Hg = \left \{ hg, \space h \in G \right \}$ 为 $H$ 在 $G$ 中的右陪集(Right Coset)

注意陪集不一定是群，比如其不一定包含恒等元 $e$

正规子群 (normal subgroup)#

正规子群的定义有多种方式，若 $(N, \circ)$ 是 $(G, \circ)$ 的子群

若 $\forall g \in G,\space gNg_{}^{-1} = N$ 称 $N$ 是 $G$ 的正规子群
若 $\forall g \in G, gH = Hg$ 称 $N$ 是 $G$ 的正规子群
若 $N$ 在 $G$ 中的左陪集的集合和右陪集的集合是一致的，则称 $N$ 是 $G$ 的正规子群
若 $N$ 的所有共轭子群等于 $N$ 则称 $N$ 是 $G$ 的正规子群

$N$ 是 $G$ 的正规子群记作 $N \lhd G$ 或者 $G \rhd N$

任意群 $G$ 的两个平凡子群 $\left \{ e \right \}$ 和 $G$ 都是 $G$ 的正规子群，也称作平凡正规子群。

对于 $G$ 中的任意元素 $g$ 都可以在子群 $G{'}$ 中找到一个元素 $g{'}$ 和原群 $G$ 中的一个元素 $x \in G$ 使得 $g = g{'} \circ x$

例如给定一个群 $G = (\{1,2,3,4,5,6\}, a \circ b = a*b\mod{6})$ 及其子群 $G = (\{1,3\}, \circ)$

则对于原群中的每个元素都可以表示为 $1 = 1 \circ 1, 2 = 1 \circ 2, 3 = 3 \circ 1, 4 = 3 \circ 2, 5 = 1 \circ 5, 6 = 3 \circ 5$

整数加法群的正规子群是 $\{2n, n \in \mathbb{Z} \}$

正规子群可以形象地理解为一个在群中具有特殊的性质的子群，它在群中的运算与子群中的运算是等价的 (?)。直觉上正规子群可以看作能够单位群，通过正规子群可以构造出整个群。

商群 (factor group)#

设群 $(G, \circ)$ 有正规子群 $(N, \circ)$ 对于 $a, b \in G$ 定义陪集运算 $(a \circ N) \diamond (b \circ N) = \left \{ a \circ b \circ n|n \in N \right \}$

则定义 $N$ 的陪集在该运算下构成的群为商群，记作 $G / N = (\left \{ aN| a \in G \right \} , \diamond)$

如所有正整数和加法运算构成一个群 $(\mathbb{Z}, +)$ 这个群有无数个子群 $2\mathbb{Z},3\mathbb{Z},...$ 观察 $5\mathbb{Z}$ 其将 $\mathbb{Z}$ 分割成一个子群 (也可以看作陪集) 和四个陪集:

子群: $5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-5,0,5,10,... \right \}$
陪集: $1 + 5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-4,1,6,11,... \right \}$
陪集: $2 + 5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-3,2,7,12,... \right \}$
陪集: $3 + 5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-2,3,8,13,... \right \}$
陪集: $4 + 5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-1,4,9,14,... \right \}$

则这五个陪集可以组成一个新的群 (陪集群) 称为商群记作 $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$

注意事项：

商群 $G/N$ 并非 $G$ 的子群
陪集并不总能形成一个群
陪集群 (商群) $G/N$ 的恒等元 (identity) 为 $N$

商群指的是将群中的某些元素 $a \in G, b \in G_{0}$ 合并成同一个元素 (这个元素本身是一个集合) $\{a, b\} \in G_{n}$

商群的元素是原群的元素的等价类，等价关系是指两个元素在群中的运算结果是相等的。

直觉上商群是将正规子群 $N$ 看作单位元后构成的群

群同态 (group homomorphism)#

给定两个群 $(G, \ast)$ 和 $(H, \odot)$ 若存在函数 $h$ 使得对于所有 $G$ 中的 $u,v$ 有 $h(u \ast v) = h(u) \odot h(v)$ 则称 $(G, \ast)$ 到 $(H, \odot)$ 的群同态

同态核 (kernel of homomorphism)#

设 $G_{1},G_{2}$ 是群 $f: G_{1} \rightarrow G_{2}$ 是同态映射，定义集合 $ker f = \{x| x \in G_{1}\space\And\space f(x) = e_{2}\}$ 其中 $e_{2}$ 是群 $G_{2}$ 的单位元素称 $ker f$ 为同态核且 $ker f$ 是 $G_{1}$ 的正规子群:

非空: $G_{1}$ 的单位元素必在 $ker f$ 中
子群: $\forall a, b \in ker f, f(a) = f(b) = e_{2}$ 则 $f(a \ast b_{}^{-1}) = f(a) \ast f(b)_{}^{-1} = e_{2}$
正规子群: $\forall a \in ker f, x \in G$ 由于 $f(a) = e_{2}$ 有 $f(x \ast a \ast x_{}^{-1}) = f(x) \ast f(a) \ast f(x)_{}^{-1} = e_{2}$ 即 $g \ast a \ast g_{}^{-1} \in ker f$

同态基本定理#

假设 $G, G_{}^{'}$ 是群， $f: G \rightarrow G_{}^{'}$ 是满同态映射则 $G/ker f \cong G_{}^{'}$

群同构 (group isomorphism)#

给定两个群 $(G, \ast)$ 和 $(H, \odot)$ 若存在双射函数 $f: G \rightarrow H$ 使得对所有 $G$ 中的 $u, v$ 有 $f(u \ast v) = f(u) \odot f(v)$ 则称群 $(G, \ast)$ 和 $(H, \odot)$ 同构。

例如实数加法群 $(\mathbb{R}, +)$ 通过 $f(x) = e_{}^{x}$ 同构于正实数乘法群 $(\mathbb{R}_{}^{+}, \ast)$

半群 (Semigroup)#

定义集合 $S$ 和其上的二元运算 $\cdot : S \times S \rightarrow S$ 若运算 $\cdot$ 满足结合律即对于 $\forall x,y,z \in S$ 有 $(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$ 则称有序对 $(S, \cdot)$ 为半群

例如正整数和加法构成半群

幺半群 (Monoid)#

对于集合 $M$ 和其上的二元运算 $\ast: M \times M \rightarrow M$ 如果满足:

结合律: $\forall a,b,c \in M, (a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)$
单位元: $\exists e \in M, \forall a \in M, e \ast a = a \ast e$
封闭性: $\forall a,b \in M, a \ast b \in M$

则称 $(M, \ast)$ 为幺半群，相对于群幺半群少了逆元素 (reverse) 的要求，相对于半群，幺半群多了单位元

变换群 (transformation group)#

对于非空集合 $A$ 称 $f: A \rightarrow A$ 为 $A$ 上的一个变换，变换乘法即函数复合运算 $h(x) = g(f(x))$

当映射 $f$ 是双射 (单射 + 满射) 时称这种变换为一一变换，下称双射变换便于理解，称集合 $A$ 上的一一变换关于交换乘法构成的群为变换群

非空集合上的所有双射变换构成群#

封闭性：双射的复合仍然是双射
结合律: $(f \circ g) \circ h = f(g(x)) \circ h = f(g(h(x))) = f \circ g(h(x)) = f \circ (g \circ h)$
单位元：存在单位元 $e: f(x) = x$ 对于任意变换 $g$ 满足 $f \circ g = g \circ f$
逆元素：对于任意双射 $g$ 必存在反函数 $g_{}^{-1}$ 即逆元素

变换群举例#

设集合 $G = \{f_{a,b}\space|\space f_{a,b}(x) = ax + b\space (a, b \in \mathbb{R}, a \ne 0)\}$ 则 $(G, \circ)$ 构成 (变换) 群

置换 (permutation)#

定义有限集合 $S$ 上的双射 $\sigma: S \rightarrow S$ 为 $S$ 上的 $n$ 元置换，记作:

其中 $\sigma(1), \sigma(2), .. \sigma(n)$ 是 $1,2,..,n$ 的不同排列，每种置换都相当于是一种排列方式

设 $i_{1}i_{2}..i_{n}$ 是 $1,2,..,n$ 的一种排列对任意的 $i,j$ 若 $i_{j} > i_{k}$ 且 $j < k$ 则称 $i_{j}i_{k}$ 为一个逆序，一个排列中的逆序总个数称为该排列的逆序数

轮换#

设 $\sigma$ 是 $S = \{1,2,..,n\}$ 上的 n 元置换，若:

$\sigma(i_{1}) = i_{2},\sigma(i_{2}) = i_{3},..,\sigma(i_{k-1}) = i_{k},\sigma(i_{k}) = i_{1}$

且:

$\forall x \in S, x \ne i_{j} (j = 1,2,..,k), \sigma(x) = x$
(这一步的意思是 $i_{j}$ 和 $i_{k+j}$ 等价)

则称 $\sigma$ 为 $S$ 上的 $k$ 阶轮换，当 $k = 2$ 时也称为对换，记作 $(i_{1},i_{2},..,i_{k})$

不相交轮换相乘#

对于 $S_{n}$ 中的两个轮换 $\sigma = (i_{1},i_{2},..,i_{k})$ 和 $\tau = (j_{1},j_{2},..,j_{s})$ 如果 $\{i_{1},i_{2},..,i_{k}\} \cap \{j_{1},j_{2},..,j_{s}\} = \phi$ 则称 $\sigma$ 和 $\tau$ 不相交，如果 $\sigma$ 和 $\tau$ 不相交则 $\sigma\tau = \tau\sigma$

推论:

任意 n 元置换 $\sigma$ 都可以表示成一组互不相交的轮换的乘积
$k(k > 1)$ 阶轮换 $\sigma = (i_{1} i_{2} .. i_{k})$ 可以表示成 $k-1$ 个对换的乘积即 $(i_{1}i_{2})..(i_{1}i_{k-1})(i_{1}i_{k})$ 的形式
$\sigma$ 是 $S$ 上的一个置换 $\sigma(j) = a_{j} (j = 1,2,...n)$ 则 $\sigma$ 的任意对换表示中的对换个数与排列 $a_{1},a_{2},..,a_{n}$ 的逆序数同奇偶性

置换群#

有限集合 $S$ 上的所有置换一定构成群称为对称群，记作 $S_{n}$ 其中 $n$ 是 $S$ 的阶数。

$S_{n}$ 的任意子集若构成群，则是置换群，置换群是变换群的特例，对称群是置换群的特例。

$S_{n}$ 的所有偶置换构成子群，称为交错群

基于已有群构建变换群#

对于群 $(G, \ast)$ 中的任意元素 $a \in G$ 定义:

$\tau_{a}: G \rightarrow G, \forall x \in G, \tau_{a}(x) = x \ast a$

则 $\tau_{a}$ 是一一 (双射) 变换:

满射：对任意的 $b \in G$ 方程 $x \ast a = b$ 有唯一解
单射：若 $x \ast a = y \ast a \Rightarrow x = y$ 两边同时乘上 $a_{}^{-1}$

记 $G_{}^{'} = \{\tau_{a}|a \in G\}$ 显然 $G_{}^{'}$ 可以构成变换群

Cayley 定理#

任意的群 $G$ 和一个变换群同构。定义 $\varphi: G \rightarrow G_{}^{'}, \forall a \in G, \varphi(a) = \tau_{a}$ 则 $\varphi$ 是同构映射。

$\varphi(a \ast b) = \tau_{a \ast b}$

$\forall x \in G, \varphi(a \ast b)(x) = \tau_{a \ast b}(x) = x \ast (a \ast b) = (x \ast a) \ast b = \tau_{b}(\tau_{a}(x))$

$\varphi(a \ast b) = \tau_{a} \circ \tau_{b} = \varphi(a) \circ \varphi(b)$

环 (ring)#

环由一个集合 $R$ 及其上的两个二元运算 $+$ (加法) 和 $\cdot$ (乘法) 组成，且满足以下条件:

$(R, +)$ 构成阿贝尔群 (交换群)
$(R, \cdot)$ 构成半群
乘法对于加法满足分配律即 $\forall a,b,c \in R$ $\forall a, b, c \in R$
- $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$
- $(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$