群論の基本概念チートシート

表紙は wikibooks - Group_Theory からのものです。

最近の半年間で、いくつかの方向から群論に関連する知識に触れました。この 2 週間で少し理解を深めました（抽象代数の概念は本当に多くて複雑です 🥲）。自分ができるだけ理解できる方法で、いくつかの概念をまとめて、今後の学習のためのチートシートとしておきます。

興味がある方は、こちらの動画を直接見ることをお勧めします: 史上最好的群论入门たった 30 分で、内容が凝縮されていて、テキストよりも理解しやすいです。また、東南大学李逸先生が編纂した基本分析の講義教材（研究成果ページの教科書からダウンロード可能）も参考にしました。集合論に関連する内容も多く参考にしています。

集合と写像の基礎#

デカルト積 (cartesian product)#

$A$ と $B$ を 2 つの与えられた集合とし、そのデカルト積を次のように定義します:

$A \times B = \left \{ (a, b) | a \in A \space\And\space b \in B \right \}$

例えば、 $A = \left \{ a, b \right \}, B = \left \{ i,j,k \right \}$ とすると、 $A \times B = \{(a,i),(b,i),(a,j),(b,j),(a,k),(b,k)\}$ となります。

ここで、 $(a, b)$ は $a$ と $b$ の 有序対 (ordered pair) として定義され、 $(a, b) = \left \{ \left \{ a \right \}, \left \{ a, b \right \} \right \}$ という表現方法において、最初の要素 $\left \{ a \right \}$ は有序対の最初の要素が $a$ であることを示し、2 番目の要素 $\left \{ a,b \right \}$ は要素間の順序を示します。参考として Kuratowski の定義と ZFC 集合公理化を挙げます。ここで、 $a$ は有序対の第一座標、 $b$ は有序対の第二座標と呼ばれ、 $a = b$ の場合、 $(a, b) = \left \{ \left \{ a \right \} \right \}$ となります。 $x = (a, b)$ の場合、射影写像を次のように定義します: $pr_{1}(x) = a,\space pr_{2}(x) = b$

写像 (map)#

$C$ と $D$ を 2 つの与えられた集合とし、割り当て法則 $R$ は次の条件を満たす $C \times D$ の部分集合を指します。

$(c,d) \in R \space\And\space (c,d{}') \in R \Longrightarrow d=d{}'$

割り当て法則 $R$ の 定義域 (domain) と 像域 (image set) を次のように定義します:

$Dom(R) := \{ c \in C | \exists\space d \in D \text{ s.t. } (c,d) \in R\}$

$Im(R) := \{ d \in D | \exists\space c \in C \text{ s.t. } (c,d) \in R\}$

写像 $f$ は二元対 $(R, B)$ であり、ここで $R$ は割り当て法則、 $B$ は集合（ $f$ の値域 (range) と呼ばれる）で、 $Im(R) \subseteq B$ を満たします。定義は次の通りです:

$f$ の定義域 $Dom(f) := Dom(R)$
$f$ の像域 $Im(f) := Im(R)$
記号を導入します: $f: A \longrightarrow B, a \longmapsto f(a)$ ここで $A$ と $B$ はそれぞれ $f$ の定義域と値域であり、したがって $Im(f) \subseteq B$ かつ $f(a)$ は $B$ の中で $(a, f(a)) \in R$ を満たす唯一の要素です。
グラフ $graph(f) := \{(a,b) \in A \times B|b = f(a) \} = \{(a, f(a))|a \in A\} \subseteq A \times B$ と定義します。

様々な写像の種類#

$1_{A} = A \longrightarrow A, a \longmapsto a$ を恒等写像 (identity mapping) と呼びます。

$f: A \longrightarrow B, a \longmapsto b$ で、ここで $b$ は定数である場合、これを定数写像 (constant mapping) と呼びます。

任意の与えられた $A$ の部分集合 $A_{0}$ に対して、 $f$ の $A_{0}$ 上の制限 (restriction) を次のように定義します: $f|_{A_{0}} = f: A_{0} \longrightarrow B$

$f$ と $g$ の 合成 (composition) を次のように定義します: $f \circ g = A \longrightarrow C, a \longmapsto c$ ただし、 $Im(f) \subseteq Dom(g)$ の場合に限り、 $f \circ g$ は意味を持ちます。

$f(a) = f(a{}') \Longrightarrow a = a{}'$ であれば、 $f$ は単射 (injective) です。

$\forall \space b \in B, \exists \space a \in A \text{ s.t. } f(a) = b$ であれば、 $f$ は満射 (surjective) です。

$f$ が単射かつ満射であれば、 $f$ は双射 (bijective) と呼ばれます。

$f$ が双射である場合、その 逆写像 (inverse) を $f_{}^{-1}: B \longrightarrow A$ と定義し、 $f_{}^{-1}(b) = a \Longleftrightarrow f(a) = b$ となります。

写像 $f: A \longrightarrow B$ が存在し、写像 $g: B \longrightarrow A$ が存在して、 $g \circ f = 1|_{A}$ すなわち $f(f(a)) = a$ が任意の $a \in A$ に対して成り立つ場合、 $f$ は必ず単射です。

写像 $f: A \longrightarrow B$ が存在し、 $f$ の左逆 (left inverse) $g: B \longrightarrow A$ （すなわち $g(f(a)) = a$ がすべての $a \in A$ に対して成り立つ）と $f$ の右逆 (right inverse) $h: B \longrightarrow A$ （すなわち $f(h(b)) = b$ がすべての $b \in B$ に対して成り立つ）が存在する場合、 $g = h = f_{}^{-1}$ となります。

もし写像定義 $(R, B)$ において $B$ が数域である場合、この写像を関数 (function) と呼びます。

等勢 (equinumerous)#

集合 $A$ と $B$ の間に双射 $f: A \rightarrow B$ が存在する場合、これらの 2 つの集合は等勢であると呼び、記号 $A \sim B$ で表します。

群の基礎定義#

次の条件を満たす二元組 $(G, \circ)$ を群と定義します:

群の要素は集合 $G$ に属します。
群内の要素は二元操作 $\circ$ を含みます。
閉包性 (closed under operation): $x, y \in G$ に対して、 $x \circ y \in G$ です。
単位元 (identity): $e \in G$ が存在し、 $e \circ x = x \circ e = x$ です。
逆元 (inverse): 任意の $x \in G$ に対して、 $x_{}^{-1} \in G$ が存在し、 $x \circ x_{}^{-1} = e$ です。
結合律 (associativity): $(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$ です。

群の要素の数は群の階数と呼ばれ、 $\left | G \right |$ で表されます。要素が 1 つだけの群 $\left | G \right | = 1$ は平凡群 (trivial group) と呼ばれます。

アーベル群 (abelian group)#

群 $(A, \circ)$ のすべての要素 $a, b \in A$ に対して $a \circ b = b \circ a$ が成り立つ場合、 $(A, \circ)$ はアーベル群または交換群と呼ばれ、逆に成り立たない場合は非アーベル群または非交換群と呼ばれます。

循環群 (cyclic group)#

$(G, \circ)$ を群とし、 $g \in G$ という要素が存在して、 $G = \left \{ g_{}^{k} | k \in \mathbb{Z} \right \}$ となる場合、 $(G, \circ)$ は循環群を形成すると呼ばれ、要素 $g$ は群の生成元と呼ばれ、記号 $G = \left \langle g \right \rangle$ で表されます。群 $G$ 内の任意の要素が生成する群はすべて循環群であり、かつ $G$ の部分群です。

例えば、 $(\mathbb{Z}, +) = \left \langle 1 \right \rangle$ は循環群です。

部分群 (subgroup)#

$H$ が群 $(G, \circ)$ の集合 $G$ の非空部分集合であり、かつ $(H, \circ)$ も群を構成する場合、 $(H, \circ)$ は $(G, \circ)$ の部分群と呼ばれ、二元操作子を省略して $H \le G$ と記します。もし $H \ne G$ であれば、 $H$ は $G$ の真部分群と呼ばれ、記号 $H \lt G$ で表されます。

すべての $G$ は 2 つの部分群を含みます：単位元 $e$ のみから構成される平凡部分群 $\left \{ e \right \}$ とその自身 $G$ です。もしある群 $G$ がこの 2 つの部分群以外に他の部分群を持たない場合、それは単群 (simple group) と呼ばれます。

ラグランジュの定理 (Lagrange's Theorem): $H \le G$ であれば、群 $G$ の階数 $\left | G \right |$ は必ず $H$ の階数で割り切れます。すなわち:

$H \le G \Rightarrow \left | G \right | \space divides \space \left | H \right |$

群 $\left | G \right | = 35$ があると仮定すると、ラグランジュの定理により、群 $G$ の部分群 $H$ は必ず $\left | H \right | = 1,5,7,35$ となります。

共役部分群 (conjugate group)#

群の要素 $g \in G$ に対して、 $aga_{}^{-1}$ を $g$ の $G$ における共役元と呼びます。

また、群 $G$ における共役の 2 つの要素 $a, b$ に対して、必ず $g \in G$ が存在し、 $gag_{}^{-1} = b$ となります。

$H$ が $G$ の部分群であり、 $a \in G$ であれば、 $aHa_{}^{-1} = \left \{ aha_{}^{-1}|\space h \in H \right \}$ は $G$ の部分群であり、 $H$ の $G$ に関する共役部分群と呼ばれます。

割集合 (coset)#

$H$ が $G$ の部分群であり、 $g \in G$ であるとき、

$gH = \left \{ gh, \space h \in G \right \}$ を $H$ の $G$ における左割集合 (Left Coset) と呼びます。
$Hg = \left \{ hg, \space h \in G \right \}$ を $H$ の $G$ における右割集合 (Right Coset) と呼びます。

注意すべきは、割集合は必ずしも群ではないことです。例えば、恒等元 $e$ を含まない場合があります。

正規部分群 (normal subgroup)#

正規部分群の定義にはいくつかの方法があります。 $(N, \circ)$ が $(G, \circ)$ の部分群である場合、

$\forall g \in G,\space gNg_{}^{-1} = N$ であれば、 $N$ は $G$ の正規部分群と呼ばれます。
$\forall g \in G, gH = Hg$ であれば、 $N$ は $G$ の正規部分群と呼ばれます。
$N$ の $G$ における左割集合の集合と右割集合の集合が一致する場合、 $N$ は $G$ の正規部分群と呼ばれます。
$N$ のすべての共役部分群が $N$ に等しい場合、 $N$ は $G$ の正規部分群と呼ばれます。

$N$ が $G$ の正規部分群であることは、 $N \lhd G$ または $G \rhd N$ と記します。

任意の群 $G$ の 2 つの平凡部分群 $\left \{ e \right \}$ と $G$ は、 $G$ の正規部分群でもあります。これらは平凡正規部分群とも呼ばれます。

群 $G$ の任意の要素 $g$ に対して、部分群 $G{'}$ の中に $g{'}$ という要素を見つけることができ、元の群 $G$ の要素 $x \in G$ が存在して、 $g = g{'} \circ x$ となります。

例えば、群 $G = (\{1,2,3,4,5,6\}, a \circ b = a*b\mod{6})$ とその部分群 $G = (\{1,3\}, \circ)$ があるとします。

この場合、元の群の各要素は次のように表現できます: $1 = 1 \circ 1, 2 = 1 \circ 2, 3 = 3 \circ 1, 4 = 3 \circ 2, 5 = 1 \circ 5, 6 = 3 \circ 5$

整数加法群の正規部分群は $\{2n, n \in \mathbb{Z} \}$ です。

正規部分群は、群内で特別な性質を持つ部分群として直感的に理解できます。群内の演算と部分群内の演算が等価であると考えられます。直感的には、正規部分群は単位群として機能し、正規部分群を通じて全体の群を構築することができます。

商群 (factor group)#

群 $(G, \circ)$ が正規部分群 $(N, \circ)$ を持つとき、 $a, b \in G$ に対して、割集合演算 $(a \circ N) \diamond (b \circ N) = \left \{ a \circ b \circ n|n \in N \right \}$ を定義します。

このようにして、 $N$ の割集合がこの演算の下で群を構成することを商群と呼び、記号 $G / N = (\left \{ aN| a \in G \right \} , \diamond)$ で表します。

例えば、すべての正整数と加法演算からなる群 $(\mathbb{Z}, +)$ は無限の部分群 $2\mathbb{Z},3\mathbb{Z},...$ を持ちます。 $5\mathbb{Z}$ を観察すると、 $\mathbb{Z}$ を 1 つの部分群（割集合とも考えられる）と 4 つの割集合に分割します。

部分群: $5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-5,0,5,10,... \right \}$
割集合: $1 + 5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-4,1,6,11,... \right \}$
割集合: $2 + 5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-3,2,7,12,... \right \}$
割集合: $3 + 5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-2,3,8,13,... \right \}$
割集合: $4 + 5\mathbb{Z} = \left \{ ...,-1,4,9,14,... \right \}$

これらの 5 つの割集合は新しい群（割集合群）を構成し、商群として記号 $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ で表されます。

注意事項：

商群 $G/N$ は $G$ の部分群ではありません。
割集合は必ずしも群を形成するわけではありません。
割集合群（商群） $G/N$ の恒等元 (identity) は $N$ です。

商群は群内のある要素 $a \in G, b \in G_{0}$ を同じ要素（この要素自体は集合です） $\{a, b\} \in G_{n}$ に統合することを指します。

商群の要素は元の群の要素の同値類であり、同値関係は群内の演算結果が等しいことを指します。

直感的には、商群は正規部分群 $N$ を単位元として考えた場合に構成される群です。

群同態 (group homomorphism)#

2 つの群 $(G, \ast)$ と $(H, \odot)$ が与えられたとき、すべての $G$ の $u,v$ に対して $h(u \ast v) = h(u) \odot h(v)$ となる関数 $h$ が存在する場合、 $(G, \ast)$ から $(H, \odot)$ への群の同態と呼びます。

同態核 (kernel of homomorphism)#

$G_{1},G_{2}$ を群とし、 $f: G_{1} \rightarrow G_{2}$ が同態写像であるとき、集合 $ker f = \{x| x \in G_{1}\space\And\space f(x) = e_{2}\}$ を定義します。ここで $e_{2}$ は群 $G_{2}$ の単位元であり、 $ker f$ は $G_{1}$ の正規部分群です。

非空: $G_{1}$ の単位元は必ず $ker f$ に含まれます。
部分群: $\forall a, b \in ker f, f(a) = f(b) = e_{2}$ であれば、 $f(a \ast b_{}^{-1}) = f(a) \ast f(b)_{}^{-1} = e_{2}$ となります。
正規部分群: $\forall a \in ker f, x \in G$ に対して、 $f(a) = e_{2}$ であるため、 $f(x \ast a \ast x_{}^{-1}) = f(x) \ast f(a) \ast f(x)_{}^{-1} = e_{2}$ となります。すなわち、 $g \ast a \ast g_{}^{-1} \in ker f$ です。

同態基本定理#

群 $G, G_{}^{'}$ があり、 $f: G \rightarrow G_{}^{'}$ が全同態写像であると仮定すると、 $G/ker f \cong G_{}^{'}$ となります。

群同型 (group isomorphism)#

2 つの群 $(G, \ast)$ と $(H, \odot)$ が与えられたとき、双射関数 $f: G \rightarrow H$ が存在し、すべての $G$ の $u, v$ に対して $f(u \ast v) = f(u) \odot f(v)$ が成り立つ場合、群 $(G, \ast)$ と $(H, \odot)$ は同型と呼ばれます。

例えば、実数加法群 $(\mathbb{R}, +)$ は $f(x) = e_{}^{x}$ によって正実数乗法群 $(\mathbb{R}_{}^{+}, \ast)$ と同型です。

半群 (Semigroup)#

集合 $S$ とその上の二元演算 $\cdot : S \times S \rightarrow S$ が与えられたとき、演算 $\cdot$ が結合律を満たす場合、すなわち $\forall x,y,z \in S$ に対して $(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)$ が成り立つとき、有序対 $(S, \cdot)$ を半群と呼びます。

例えば、正整数と加法は半群を構成します。

幺半群 (Monoid)#

集合 $M$ とその上の二元演算 $\ast: M \times M \rightarrow M$ が与えられたとき、次の条件を満たす場合:

結合律: $\forall a,b,c \in M, (a \ast b) \ast c = a \ast (b \ast c)$
単位元: $\exists e \in M, \forall a \in M, e \ast a = a \ast e$
閉包性: $\forall a,b \in M, a \ast b \in M$

このとき、 $(M, \ast)$ を幺半群と呼びます。群に対して、幺半群は逆元の要求がなく、半群に対しては単位元が追加されます。

変換群 (transformation group)#

非空集合 $A$ に対して、 $f: A \rightarrow A$ を $A$ 上の変換と呼びます。変換の乗法は関数の合成演算 $h(x) = g(f(x))$ です。

写像 $f$ が双射（単射 + 満射）であるとき、この変換を一一変換と呼び、以下のように理解しやすくするために、集合 $A$ 上の一一変換についての交換乗法から構成される群を変換群と呼びます。

非空集合上のすべての双射変換は群を構成する#

閉包性：双射の合成は依然として双射です。
結合律: $(f \circ g) \circ h = f(g(x)) \circ h = f(g(h(x))) = f \circ g(h(x)) = f \circ (g \circ h)$
単位元：単位元 $e: f(x) = x$ が存在し、任意の変換 $g$ に対して $f \circ g = g \circ f$ が成り立ちます。
逆元：任意の双射 $g$ に対して、逆関数 $g_{}^{-1}$ が存在し、すなわち逆元です。

変換群の例#

集合 $G = \{f_{a,b}\space|\space f_{a,b}(x) = ax + b\space (a, b \in \mathbb{R}, a \ne 0)\}$ を考えると、 $(G, \circ)$ は（変換）群を構成します。

置換 (permutation)#

有限集合 $S$ 上の双射 $\sigma: S \rightarrow S$ を $S$ 上の $n$ 元置換と呼び、次のように記述します:

ここで、 $\sigma(1), \sigma(2), .. \sigma(n)$ は $1,2,..,n$ の異なる排列であり、各置換は排列方法の一種に相当します。

$i_{1}i_{2}..i_{n}$ を $1,2,..,n$ のある排列とし、任意の $i,j$ に対して $i_{j} > i_{k}$ かつ $j < k$ である場合、 $i_{j}i_{k}$ を逆序と呼びます。排列中の逆序の総数はその排列の逆序数と呼ばれます。

循環#

$\sigma$ が $S = \{1,2,..,n\}$ 上の $n$ 元置換であるとき、次の条件を満たす場合:

$\sigma(i_{1}) = i_{2},\sigma(i_{2}) = i_{3},..,\sigma(i_{k-1}) = i_{k},\sigma(i_{k}) = i_{1}$

かつ:

$\forall x \in S, x \ne i_{j} (j = 1,2,..,k), \sigma(x) = x$
（このステップの意味は、 $i_{j}$ と $i_{k+j}$ が同等であることを示します）

この場合、 $\sigma$ は $S$ 上の $k$ 階循環と呼ばれ、 $k = 2$ の場合は対換とも呼ばれ、記号 $(i_{1},i_{2},..,i_{k})$ で表されます。

不相交循環の乗法#

$S_{n}$ の 2 つの循環 $\sigma = (i_{1},i_{2},..,i_{k})$ と $\tau = (j_{1},j_{2},..,j_{s})$ があり、 $\{i_{1},i_{2},..,i_{k}\} \cap \{j_{1},j_{2},..,j_{s}\} = \phi$ である場合、 $\sigma$ と $\tau$ は不相交と呼ばれます。もし $\sigma$ と $\tau$ が不相交であれば、 $\sigma\tau = \tau\sigma$ となります。

推論:

任意の $n$ 元置換 $\sigma$ は、互いに不相交な循環の積として表すことができます。
$k(k > 1)$ 階循環 $\sigma = (i_{1} i_{2} .. i_{k})$ は、 $k-1$ 個の対換の積として表すことができ、すなわち $(i_{1}i_{2})..(i_{1}i_{k-1})(i_{1}i_{k})$ の形式です。
$\sigma$ が $S$ 上の置換 $\sigma(j) = a_{j} (j = 1,2,...n)$ である場合、 $\sigma$ の任意の対換表示における対換の個数は、排列 $a_{1},a_{2},..,a_{n}$ の逆序数と同じ奇偶性を持ちます。

置換群#

有限集合 $S$ 上のすべての置換は必ず群を構成し、これを対称群と呼び、記号 $S_{n}$ で表します。ここで、 $n$ は $S$ の階数です。

$S_{n}$ の任意の部分集合が群を構成する場合、それは置換群であり、置換群は変換群の特例であり、対称群は置換群の特例です。

$S_{n}$ のすべての偶置換は部分群を構成し、これを交錯群と呼びます。

既存の群に基づいて変換群を構築する#

群 $(G, \ast)$ の任意の要素 $a \in G$ に対して、次のように定義します:

$\tau_{a}: G \rightarrow G, \forall x \in G, \tau_{a}(x) = x \ast a$

この場合、 $\tau_{a}$ は一一（双射）変換です。

満射：任意の $b \in G$ に対して方程式 $x \ast a = b$ は唯一の解を持ちます。
単射: $x \ast a = y \ast a \Rightarrow x = y$ であり、両辺に $a_{}^{-1}$ を掛けると成り立ちます。

$G_{}^{'} = \{\tau_{a}|a \in G\}$ とすると、明らかに $G_{}^{'}$ は変換群を構成します。

ケイリーの定理 (Cayley theorem)#

任意の群 $G$ は変換群と同型です。 $\varphi: G \rightarrow G_{}^{'}, \forall a \in G, \varphi(a) = \tau_{a}$ と定義すると、 $\varphi$ は同型写像です。

$\varphi(a \ast b) = \tau_{a \ast b}$

$\forall x \in G, \varphi(a \ast b)(x) = \tau_{a \ast b}(x) = x \ast (a \ast b) = (x \ast a) \ast b = \tau_{b}(\tau_{a}(x))$

$\varphi(a \ast b) = \tau_{a} \circ \tau_{b} = \varphi(a) \circ \varphi(b)$

環 (ring)#

環は集合 $R$ とその上の 2 つの二元演算 $+$ （加法）と $\cdot$ （乗法）から構成され、次の条件を満たします:

$(R, +)$ はアーベル群（交換群）を構成します。
$(R, \cdot)$ は半群を構成します。
乗法は加法に対して分配律を満たします。すなわち、 $\forall a,b,c \in R$ $\forall a, b, c \in R$
- $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$
- $(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)$