且听风吟

前兩天偶然找到了《game theory》這本書的電子版，剛看了前兩章感覺很有趣，我尤其喜歡這種把問題形式化再去解決的過程。第二章主要講決策時使用的方法，比如第二價拍賣：出價最高者贏得拍賣，但只需支付第二高的價格，和以下所討論的 The pivotal mechanism 下文把 pivotal 直譯成 "關鍵"(感覺有點怪)。

初次接觸博弈論，如有誤述請一定指出。🥺

概念#

民意調查是組織進行項目決策的重要工具，但參與者報告的意願並不總能反映出真實的情況。因為受訪者可能會由於價格、稅收，偏好等各種原因放大或縮小其真實的意願。

比如社區要兌錢建設足球場：熱愛足球運動的參與者 A 在調查時可能會誇大自己願意支出的價格，因為 A 會認為在真實出價時，高出來的價格會均攤到其他參與者身上。相反對於不喜歡足球運動的參與者 B 考慮到建設足球場的支出和自己的收益，會報告出低於自己真實意願。Everybody lies

關鍵機制 (pivotal mechanism) / Clarke 機制給出了一種激勵受訪者報告他們的真實意願的博弈模型。

關鍵機制的思想在於讓每個參與者認為自己是決定結果的關鍵，從而誘導參與者報告真實信息，以供決策。基本的流程如下:

1. 每個參與者報告自己私有信息 (比如願意支付的價格)
2. 計算所有信息的總和，得到一個決策結果
3. 對每個參與者，考慮剔除其信息後重新決策的結果是否有改變
4. 只向改變了結果的參與者收費 (比如額外的稅)

舉例#

設想一個場景，政府考慮在某社區中建造一個公園，預計總共需要需要花費 $\$C$ 社區中一共有 $n$ 位市民。如果決定建造公園，則每位市民需要支出 $\$c_i (c_1+c_2+...+c_n = C)$ 由於公園對每個市民的收益不同 (比如離每個人家裡的距離不一樣)，所以每位市民實際的支出會有所不同。

假設每位市民 $i$ 的初始財富為 $\$m_i(m_i>0)$ 若公園建成其能夠獲得的收益為 $v_i$ (這裡把收益量化為財富，注意收益有可能是負值) 則對於市民 $i$ 的收益函數為 (這個公式只在後續數學證明的時候有用到)

政府在進行決策時，只有滿足總收益大於總支出即 $\sum_{i=1}^{n}v_i > C$ 的情況才會決定建造公園。但問題是政府無法得知每位市民的 $v_i$ 所以需要進行民調。

使用關鍵機制進行民意調查#

1. 第一步，每位受訪市民報告一個其在公園建設過程中取得的收益 $w_i$ 在絕對誠實的情況下 $w_i$ 應該等於 $v_i$

2. 第二步，計算所有提交收益的總和，通過民調進行的決策就變成了只有在 $\sum_{i=1}^{n}w_i > C$ 的情況下才會建造公園。

3. 第三步，將參與者分成關鍵和不關鍵兩類，滿足以下條件即認為不關鍵 (剔除這個參與者的 $w_j$ 總體的決策不會發生改變)

第一行表示，算上 $i$ 和不算上 $i$ 所有人的收益總和都大於所需支出總和，決策不變 (建設公園)
第二行表示，算上 $i$ 和不算上 $i$ 所有人的收益總和都小於所需支出總和，決策不變 (不建公園)

4. 第四步，對關鍵市民 (非不關鍵市民) 徵收一定的稅，額度為

感性分析#

由於關鍵市民需要支付額外的稅，每位市民相對理性的選擇是使得自己的 $w_i = c_i$ 這樣自己總不會是關鍵市民：

• 如果原本總 $W \ge C$ 則加上 $c_i$ 之後兩邊仍是大於關係 $W+w_i \ge C+c_i$
• 如果原本總 $W < C$ 則加上 $c_i$ 之後兩邊還是小於關係 $W+w_i < C+c_i$

在絕對誠實和理性的環境下，對所有參與者應該有 $w_i = v_i$ 這樣政府通過統計出來的 $\sum_{i=1}^{n}w_i = \sum_{i=1}^{n}v_i$ 和 $C$ 比較，就能夠得到最準確的決策。

數學證明#

數學證明主要通過計算每個參與者的收益函數來證明 $w_i = c_i$ 確實是每個參與者的最優選擇 (每個 $i$ 都希望自己的最終財富最高)。這也是下面證明中所說的 our hypothesis

• $w_i$ 表示報告的收益 (量化成財富值)
• $v_i$ 表示真實收益 (量化成財富值)
• $c_i$ 表示在建造公園情況下的真實支出，如果不建設，則這一項為 $0$
• $\bar{m}_i$ 表示參與者 $i$ 的初始財富值
• $i’s utility$ 表示 $i$ 的最終財富值 $i$ 會按照最大化這個值的策略進行決策

case 1#

case2#

case3#

case4#