博弈論の重要なメカニズム

前の 2 日間、偶然にも「ゲーム理論」という本の電子版を見つけました。最初の 2 章を読んで、とても興味深いと感じました。特に、問題を形式化して解決するプロセスが好きです。第 2 章では、意思決定に使用される方法について説明しています。たとえば、セカンドプライスオークションでは、最高入札者がオークションに勝ちますが、支払うのは 2 番目に高い価格だけです。また、後述する「重要なメカニズム」では、「重要な」を「ピボタル」と直訳しています（少し奇妙に感じます）。

ゲーム理論に初めて触れたので、誤った説明があれば必ず指摘してください。🥺

概念#

世論調査はプロジェクトの意思決定における重要なツールですが、参加者の報告する意思は常に真実の状況を反映するわけではありません。なぜなら、インタビュー対象者は価格、税金、好みなどのさまざまな理由で自分の真の意思を拡大または縮小する可能性があるからです。

たとえば、コミュニティがお金を集めてサッカー場を建設することを検討しているとします。サッカーを愛する参加者 A は、調査時に自分が支払いたいと思う金額を誇張するかもしれません。なぜなら、実際の入札時に高くなった価格は他の参加者に均等に分担されると考えるからです。一方、サッカーを好まない参加者 B は、サッカー場の費用と自身の利益を考慮して、自分の真の意思よりも低い金額を報告するかもしれません。Everybody lies

「ピボタルメカニズム」または「クラークメカニズム」は、インタビュー対象者が自分の真の意思を報告するためのゲームモデルを提供します。

ピボタルメカニズムのアイデアは、各参加者が自分自身が結果を決定する鍵であると考えることで、参加者が真の情報を報告し、意思決定のために使用できるようにすることです。基本的な手順は次のとおりです。

各参加者は自分のプライベート情報（たとえば支払い意思）を報告します。
すべての情報の合計を計算し、意思決定結果を得ます。
各参加者について、その情報を除外して再度意思決定を行った場合に結果が変わるかどうかを考慮します。
結果が変わった参加者のみに追加の料金（たとえば追加の税金）を請求します。

例#

あるシナリオを考えてみましょう。政府はあるコミュニティに公園を建設することを検討しており、総費用が $C$ であると予想されています。コミュニティには合計 $n$ 人の市民がいます。公園を建設する場合、各市民は $c_i$ を支払う必要があります（ $c_1+c_2+...+c_n = C$ ）。公園は各市民にとって異なる利益をもたらすため（たとえば、家からの距離が異なる）、各市民の実際の支出は異なる場合があります。

各市民 $i$ の初期財産を $m_i$ （ $m_i>0$ ）とし、公園が建設された場合の彼らの収益を $v_i$ とします（ここで収益は財産として量化され、収益は負の値になる可能性があります）。したがって、市民 $i$ の収益関数は次のようになります（この式は後の数学的証明で使用されます）。

政府は意思決定を行う際、総収益が総支出よりも大きい（ $\sum_{i=1}^{n}v_i > C$ ）場合にのみ公園建設を決定します。しかし、政府は各市民の $v_i$ を把握することができないため、世論調査が必要です。

ピボタルメカニズムを使用した世論調査#

ステップ 1：各インタビュー対象市民は、公園建設プロセスで得られる収益 $w_i$ を報告します。正直な状況では、 $w_i$ は $v_i$ と等しくなるはずです。
ステップ 2：報告された収益の合計を計算し、世論調査による意思決定は、 $\sum_{i=1}^{n}w_i > C$ の場合にのみ公園建設されるようになります。
ステップ 3：参加者をキープレーヤーと非キープレーヤーの 2 つのカテゴリに分け、次の条件を満たす場合に非キープレーヤーと見なします（参加者 $j$ の $w_j$ を除外した場合、全体の意思決定が変わらない）。

最初の行は、 $i$ を含めた場合と含めない場合のすべての人の収益の合計が必要な支出の合計よりも大きいため、意思決定は変わらない（公園建設）ことを示しています。2 行目は、 $i$ を含めた場合と含めない場合のすべての人の収益の合計が必要な支出の合計よりも小さいため、意思決定は変わらない（公園建設しない）ことを示しています。